Skip to content

TUGAS KULIAH (Teori Bilangan)

December 30, 2010

OPERASI BILANGAN CACAH

  1. Penjumlahan

Jika A dan B dua himpunan yang saling asing dengan n(A) = a dan n(B) = b, yang berarti alangan-bilangan cacah maka “a+b” (dibaca a plus b, atau jumlah a dan b) adalah n(A  B). Jika n(A  B) kita disebut c maka : a + b = c.

Sifat – sifat penjumlahan pada bilangan cacah

1)      Tertutup

Untuk setiap a dan b  C (himpunan bilangan cacah) maka a + b  C

Contoh :

  • 4,5  C  4 + 5 = 9  C
  • 3,7  C  3 + 7 = 10  C

 

2)      Komutatif

a dan b  A, maka a + b = b + a

Contoh :

  • 1,3  C  1 + 3 = 3 + 1

4   =  4

  • 2,5  C  2 + 5 = 2 + 5

7   =  7

 

3)      Assosiatif

Untuk setiap a, b dan c  A, maka a +(b +c) = (a + b) + c

Contoh :

  • 2,3,4  C  2 + (3 + 4) = (2 + 3) + 4

2 + 7  =  5 + 4

9      =   9

 

4)      Memiliki identitas

Bilangan 0(nol) sebagai elemen identitas pada penjumlahan, sebab nol :

0 + a = a yang berlaku untuk setiap a  C.

Contoh :

  • 0,2  C  0 + 2 = 2  C

 

  1. Pengurangan

Operasi pengurangan pada himpunan bilangan cacah akan tertutup apabila dipenuhi pengurang < terkurangi.

Jika (c – a) disebut dengan b, jadi (c – a) = b maka rumus didefinisi menjadi a + b = c, maka pengurangan disebut balikan (invers) dari penjumlahan. Penjumlahan hanya mempunyai satu invers.

 

  1. Perkalian

a)      Perkalian dua bilangan p dan q yang dinyatakan dengan “ p x q “ = ialah penjumlahan atau penjumlahan berganda yang mempunyai p suku dan tiap – tiap suku sama dengan q.

Jadi : p x q = q + q + q + . . . + q(n)

b)      Bila dua himpunan P dan Q anggota,  dimana P dengan p anggota dan Q dengan q anggota, kemudian kita bentuk P X Q, maka banyaknya anggota yang berupa pasangan terurut dalam P x Q disebut p x q.

Sifat – sifat Perkalian pada Sistem Bilangan Cacah

1)      Tertutup

Untuk setiap p dan q  C (himpunan bilangan cacah), maka p x q  C

Contoh :

  • 4,2  C  4 x 2 = 8  C
  • 5,3  C  5 x 3 = 15  C

2)      Komutatif

Untuk setiap p dan q , maka p x q = q x p

Contoh :

  • 2,3  C  2 x 3 = 3 x 2

6   =  6

  • 3,4  C  3 x 4 = 4 x 3

12  =  12

3)                  Assosiatif

Untuk setiap p, q dan r  C, maka (p x q) x r = q x( p x r)

Contoh :

  • 2,3,4  C ( 2 x 3) x 4 = 3 x (2 x 4)

6 x 4   =  3 x 8

24     =   24

4)                  Memiliki Identitas

Bilangan 1 sebagai elemen identitas pada perkalian, sebab 1 x p = p x 1 = p yang berlaku untuk setiap p         C

5)      Distributif

Perkalian terhadap penjumlahan

Untuk setiap p,q dan r  C, maka

p x (q + r) = (p x q) + (p x r) (penyebaran kiri)

(q + r) x p = (q + p) + ( r x p) (penyebaran kanan)

  1. Pembagian

Dari perkalian a x b = c, bila diketahui salah satu factor dan hasil kalinya, maka hal itu dapat dinyatakan dengan kalimat terbuka sebagai berikut : a x…= c atau … x b = c.

Pengerjaan hitung yang mencari sebuah factor, jika factor yang lain dan hasil kalinya diketahui disebut pembagian. Hasil kali yang diketahui disebut terbagi, factor yang diketahui disebut pembagi dan factor yang dicari disebut hasil bagi.

Dalam kalimat terbuka a x …=c, faktordicari yakni hasil bagi c dengan a yang ditulis (c : a). jika (c : a) diisikan ke dalam kalimat terbuka di atas, terdapatlah rumus definisi : a x(c : a) = c.

Jadi definisi pembagian sebagai berikut:

(c : a) ialah bilangan yang jika dikalikan dengan a menghasilkan c. berhubungan dengan sifat komutatif, dapat juga kita tulis (c : a) x a =c.

Jika (c : a) kita sebut b, maka terdapat (c : a) = b dan a x b = c atau b x a = c. maka c : a = b sama artinya dengan a x b = c atau b x a = c.

Untuk membuktikan sifat pembagian, maka kalimat pembagian yang menyatakan sifat itu kita ganti dengan kalimat perkalian yang sama artinya.

 

 

OPERASI BILANGAN BULAT

 

Jika n bilangan bulat, maka n(-n) + n = 0. Bilangan (-n) disebut lawan dari (invers penjumlahan dari) n, dan 0 disebut elemen identitas terhadap penjumlahan.

Devinisi diatas menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat n ada dengan tunggal bilangan bulat (-n) sedemikian hingga n + (-n) = (-n) + n = 0. Lawan dari (-n) adalah – (-n) sehingga (-n) + (-(-n)) + (-n) = 0.

Karena (-n) + n = n + (-n) = 0 dan mengingat ketinggalan dari n, maka (-(-n)) = n. Jadi lawan dari (-n) adalah n.

  1. Penjumlahan  Bilangan Bulat

Misalkan a dan b bilangan – bilangan cacah, maka (-a) + (-b) merupakan jumlah dua bilangan negatif. Misal (-a) + (-b) = c maka c = (-a) + (-b)

a)      Sifat – sifat penjumlahan pada bilangan bulat

  • Sifat kesaman  c + b = ((-a) + (-b)) + b
  • Sifat assosiatif  c + b = (-a) + ((-b) + b)
  • Invers penjumlahan  c + b = (-a) + 0
  • Sifat kesamaan  (c + b)  + a = (-a) + a
  • Invers penjumlahan  (c + b) + a = 0
  • Sifat assosiatif  c + (b + a) = 0
  • Sifat komutatif  c + (a + b) = 0
  • Sifat kesamaan  (c + (a + b)) + (-(a + b)) = – (a + b)
  • Sifat assosiatif  c +((a + b) + (-(a + b))) = – (a + b)
  • Invers penjumlahan  c + 0 = – (a + b)

Jadi kesimpulannya (-a) + (-b) = – (a + b).

Penjumlahan dua bilangan bulat, yang satu positif dan yang lain negatif, kita jelaskan sebagai berikut :

Misal a dan b dua bilangan cacah dengan a < b, berarti ada bilangan asli c sedemikian hingga a + c = b dan menurut definisi pengurangan bilangan cacah, a + c = b sama artinya dengan b – a = c

Jadi a + (-b) = a + (-(a + c))

a + ((-a) + (-c)), penjumlahan dua bilangan bulat negative.

a + (-b) = ( a + (-a)) + (-c)  (assosiasif penjumlahan)

= 0 + (-c)                (invers penjumlahan)

= (-c)  = – (b-a)

  1. Pengurangan bilangan bulat

Pengurangan bilangan bulat positif sama seperti halnya pengurangan bilangan cacah. Di sini akan kita bahas pengurangan bilangan bulat yang bilangan pengurangannya negative.

Misal a dan b dua bilangan cacah, dan missal pula a – (-b) = k, maka menurut definisi pengurangan berarti :

k +  (-b) = a

(k + (-b)) + b = a + b      (sifat kesamaan)

k + ((-b) +b)  = a + b      (sifat assosiatif)

k + 0 = a + b                  (inverse penjumlahan)

k = a + b

jadi kesimpulannya a – (-b) = a + b

 

  1. Perkalian bilangan bulat

Kita telah mempelajari perkalian bilangan cacah, selanjutnya pengetahuan itu dengan sifat distributive perkalian terhadap penjumlahan bilangan bulat, kita dapat melakukan perkalian bilangan bulat yang salah satu atau kedua-duanya bilangan bulat negative.

Tetapi sebelum kita membicarakan hal itu terlebih dahulu kita buktikan suatu sifat konselasi (penghapusan) dari penjumlahan yaitu:

Jika a, b dan c bilangan-bilangan bulat dan a + c = b + c maka a = b.

Bukti :

a + c = b + c

(a + c) + (-c) = (b + c) + (-c)                (sifat kesamaan)

a + (c + (-c)) = b + (c + (-c)                 (assosiatif penjumlahan)

a + 0 = b + 0                           (invers penjumlahan)

a = b

Berikut akan diperlihatkan bagaimana memberi makna perkalian dua bilangan bulat yang satu negative dan lainnya positif. Misalkan a dan b adalah bilangan cacah, maka a bilangan bulat positif dan (-b) bilangan bulat negative. Akan diperlihatkan bahwa a x (-b) = -(a x b).

bukti :

a x (b + (-b)) = a x 0

(a x b) + (a x (-b)) = 0

(a x (-b)) + (a x b) = 0

((a x (-b)) + (a x b)) + (-(a x b)) = 0 + (-(a x b))

(a x (-b)) + ((a x b) + (-a(a x b))) = -(a x b)

a x (-b) + 0 = -(a x b)

a x (-b) = -(a x b)

 

Mengingat sifat komutatif pada perkalian bilangan bulat, maka :

(-a) x b = b x (-a)

= – (b x a)

= -(a x b)

 

  1. Pembagian bilangan bulat

Seperti halnya pembagian bilangan cacah, pembagian bilangan bulat juga didefinisikan dengan perkalian.

Telah dibuktikan bahwa (-a) x b = a x (-b) = -(a x b) dan seterusnya kita tulis dengan –(ab), maka :

1)   –(ab) : a = (-b)                  3)  -(ab) : (-a) = b

2)   –(ab) : b = (-a)                  4)  -(ab) : (-b) = a

Demikian pula karena (-a) x (-b) = a x b maka:

5)  ab : (-a) = (-b)

6)  ab : (-b) = (-a)

 

 

OPERASI BILANGAN RASIONAL

 

Bilangan rasional (bilangan pecahan) adalah bilngan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  dimana a dan b bilangan- bilamgan bulat dan b  0. a disebut pembilang dan b disebut penyebut.

Himpunan bilangan rasional biasa ditulis dengan lambang Q.

Jadi Q = {p / p =    , a ,b ,

  1. Penjumlahan Bilangan Rasional

Misal  dan  bilangan-bilangan rasional.

 

Maka    +   =

 

  1. Pengurangan Bilangan Rasional

–   =

 

  1. Perkalian Bilangan Rasional

–   =

 

  1. Pembagian Bilangan Rasional

Jika   :   = k, maka ini berarti

 

k x

 

 

  • (k x  x  =   x

 

  • k x (  x  =

 

k x 1 =

 

k x  =

 

Jadi   :   =   x

 

 

 

 

No comments yet

Leave a Reply

Fill in your details below or click an icon to log in:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

Connecting to %s

%d bloggers like this: